环R中满足ab∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）
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Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）
环的概念
Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。
在模5环中可逆元有（D）个。
设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。
一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）
环的零因子是一个零元。（错误）
域的概念
不属于域的是（A）。
设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。
最小的数域是（A）。
整环一定是域。（错误）
域必定是整环。（正确）
整数环的结构（一）
对于a，b∈Z，如果有c∈Z，使得a=cb，称b整除a，记作（C）。
不属于整环的是（B）。
在整数环中没有（A）。
整数环是具有单位元的交换环。（正确）
整环是无零因子环。（正确）
整数环的结构（二）
能被3整除的数是（A）。
不能被5整除的数是（D）。
a与0 的一个最大公因数是（D）。
整环具有的性质包括（ACD）。
在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）
整除关系是等价关系。（错误）
整数环的结构（三）
gac(234，567)=（C）
对于a，b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。
若a=bq+r，则gac(a，b)=（C）。
对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数。（正确）
整数环的结构（四）
gcd(56，24)=（A）
如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。
对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数可以用（C）。
计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）
用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）
整数环的结构（五）
若a，b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。
若a与b互素，有（B）。
由b|ac及gac(a，b)=1有（C）。
在Z中，若a|c，b|c，且(a，b)=1则可以a|bc.（错误）
任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）
整数环的结构（六）
p是素数，若p|ab，(p，a)=1可以推出（C）。
若（a，c）=1，(b，c)=1则（ab，c）=（D）。
对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p，a）等于（A）。
所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）
a与b互素的充要条件是存在u，v∈Z使得au+bv=1。（正确）
整数环的结构（七）
素数的特性之间的相互关系是（C）。
p与任意数a有（p，a）=1或p|a的关系，则p是（D）。
p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。
p是素数则p的正因子只有P。（错误）
合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）
Zm的可逆元（一）
Z6的可逆元是（A）。
Z8中的零因子有（C）。
在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。
Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）
p是素数，则Zp一定是域。（正确）
Zm的可逆元（二）
不属于Z7的可逆元是（A）。
Z10的可逆元是（C）。
在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。
Z91中，34是可逆元。（正确）
Z81中，9是可逆元。（错误）
模P剩余类域
任一数域的特征为（D）。
在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。
在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。
任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）
设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）
域的特征（一）
域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1<=k< p，则(K!，p)等于（D）。
p
kp
特征为2的域是（A）。
设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）
设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）
域的特征（二）
设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）
设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。
设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）
中国剩余定理（一）
剩余定理是（D）人发明的。
中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。
首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。
“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）
一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）
中国剩余定理（二）
n被3，5，11除的余数分别是1，3，3且n小于100，则n=（D）。
n被3，4，7除的余数分别是1，3，5且n小于200，则n=（B）。
最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。
一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）
欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）
欧拉函数（一）
Z3的可逆元个数是（A）。
Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。
φ(m)等于（D）。
求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）
在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）
欧拉函数（二）
φ(4)=（A）
当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。
设p为素数，r为正整数，Ω={1，2，3，…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。
φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）
设p是素数，则φ(p)=p。（错误）
欧拉函数（三）
φ(12)=（B）
φ(10)=（B）
Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。
φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）
设m1，m2为素数，则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）
欧拉函数（四）
Φ(3)Φ(4)=（D）
Φ(7）=（D）
有序元素对相等的映射是一个（D）。
Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）
Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）
欧拉函数（五）
a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。
若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。
单射在满足（D）时是满射。
属于单射的是（A）。
数学上可以分三类函数包括（ACD）。
对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）
映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）
欧拉函数（六）
根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。
属于双射的是（A）。
不属于满射的是（B）。
既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）
x → ln x不是单射。（错误）
环的同构（一）
环R与环S同构，若R是除环则S（A）。
环R与环S同构，若R是域则S（A）。
环R与环S同构，若R是整环则S（A）。
同构映射有保加法和除法的运算。（错误）
环R与环S同构，则RS在代数性质上完全一致。（正确）
环的同构（二）
Z7中4的平方根有几个（A）。
Z77中4的平方根有（B）个。
二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。
在Z77中，6是没有平方根的。（正确）
Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）
Z﹡m的结构（一）
Z12*=（B）
当群G满足（C）时，称群是一个交换群。
非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。
无数个
有且只有1一个
无法确定
群具有的性质包括（ABC）。
结合律
有逆元
有单位元
分配律
在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）
Z12*是保加法运算。（错误）
Z﹡m的结构（二）
Z12*的阶为（B）。
若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。
Zm*的结构可以描述成（B）。
Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）
Zm*是一个交换群。（正确）
Z﹡m的结构（三）
Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。
Z5*中2的阶是（B）。
Z5*中3的阶是（B）。
设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）
在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）
