对于整数环,任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用(C)。
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计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。(错误)
用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。(错误)
整数环的结构(五)
若a,b∈Z,且不全为0,那么他们的最大公因数有(D)个。
若a与b互素,有(B)。
由b|ac及gac(a,b)=1有(C)。
在Z中,若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.(错误)
任意两个非0的数不一定存在最大公因数。(错误)
整数环的结构(六)
p是素数,若p|ab,(p,a)=1可以推出(C)。
若(a,c)=1,(b,c)=1则(ab,c)=(D)。
对于任意a∈Z,若p为素数,那么(p,a)等于(A)。
所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。(正确)
a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。(正确)
整数环的结构(七)
素数的特性之间的相互关系是(C)。
p与任意数a有(p,a)=1或p|a的关系,则p是(D)。
p不能分解成比p小的正整数的乘积,则p是(D)。
p是素数则p的正因子只有P。(错误)
合数都能分解成有限个素数的乘积。(正确)
Zm的可逆元(一)
Z6的可逆元是(A)。
Z8中的零因子有(C)。
在Zm中,等价类a与m满足(A)时可逆。
Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。(正确)
p是素数,则Zp一定是域。(正确)
Zm的可逆元(二)
不属于Z7的可逆元是(A)。
Z10的可逆元是(C)。
在Z91中等价类元素83的可逆元是(D)等价类。
Z91中,34是可逆元。(正确)
Z81中,9是可逆元。(错误)
模P剩余类域
任一数域的特征为(D)。
在域错误中,e是单位元,对任意n,n为正整数都有ne不为0,则错误的特征是(D)。
在域错误中,e是单位元,存在n,n为正整数使得ne=0成立的正整数n是(C)。
任一数域的特征都为0,Zp的特征都为素数p。(正确)
设域错误的单位元e,存在素数p使得pe=0。(正确)
域的特征(一)
域错误的特征为p,对于任一a∈错误,pa等于(D)。
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!,其中1<=k< p,则(K!,p)等于(D)。
p
kp
特征为2的域是(A)。
设域错误的特征为3,对任意的a,b∈错误,有(a+b)^2=a^2+b^2。(错误)
设域错误的特征为素数p,对任意的a,b∈错误,有(a+b)^p=a^p+b^p。(正确)
域的特征(二)
设p是素数,则(p-1)!≡(C)(modp)
设p是素数,对于任一a∈Z ,ap模(B)和a同余。
设p是素数,则对于任意的整数a,有a^p≡a(modp)。(正确)
中国剩余定理(一)
剩余定理是(D)人发明的。
中国古代求解一次同余式组的方法是(D)。
首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国(A)的数学家。
“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。(正确)
一次同余方程组在Z中是没有解的。(错误)
中国剩余定理(二)
n被3,5,11除的余数分别是1,3,3且n小于100,则n=(D)。
n被3,4,7除的余数分别是1,3,5且n小于200,则n=(B)。
最早给出一次同余方程组抽象算法的是(A)。
一个数除以5余3,除以3余2,除以4余1.求该数的最小值53。(正确)
欧拉在1743年,高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。(正确)
欧拉函数(一)
Z3的可逆元个数是(A)。
Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于(C)。
φ(m)等于(D)。
求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。(错误)
在Zm中,a是可逆元的充要条件是a与m互素。(正确)
欧拉函数(二)
φ(4)=(A)
当m为合数时,令m=24,那么φ(24)等于(C)。
设p为素数,r为正整数,Ω={1,2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有(D)个。
φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)(错误)
设p是素数,则φ(p)=p。(错误)
欧拉函数(三)
φ(12)=(B)
φ(10)=(B)
Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的(B)。
φ(24)=φ(4)φ(6)(错误)
设m1,m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。(正确)
欧拉函数(四)
Φ(3)Φ(4)=(D)
Φ(7)=(D)
有序元素对相等的映射是一个(D)。
Φ(N)是欧拉函数,若N>2,则Φ(N)必定是偶数。(正确)
Φ(4)=Φ(2)Φ(2)(错误)
欧拉函数(五)
a是Zm的可逆元的等价条件是(C)。
若映射σ既满足单射,又满足满射,那么它是(A)。
单射在满足(D)时是满射。
属于单射的是(A)。
数学上可以分三类函数包括(ACD)。
对任一集合X,X上的恒等函数为单射的。(正确)
映射σ是满足乘法运算,即σ(xy)=σ(x)σ(y)。(正确)
欧拉函数(六)
根据欧拉方程的算法φ(1800)等于(A)。
属于双射的是(A)。
不属于满射的是(B)。
既是单射又是满射的映射称为双射。(正确)
x → ln x不是单射。(错误)
环的同构(一)
环R与环S同构,若R是除环则S(A)。
环R与环S同构,若R是域则S(A)。
环R与环S同构,若R是整环则S(A)。
同构映射有保加法和除法的运算。(错误)
环R与环S同构,则RS在代数性质上完全一致。(正确)
环的同构(二)
Z7中4的平方根有几个(A)。
Z77中4的平方根有(B)个。
二次多项式x2-a在Zp中至多有(D)根。
在Z77中,6是没有平方根的。(正确)
Z7和Z11的直和,与Z77同构。(正确)
Z﹡m的结构(一)
Z12*=(B)
当群G满足(C)时,称群是一个交换群。
非空集合G中定义了乘法运算,如有ea=ae=a对任意a∈G成立,则这样的e在G中有(B)。
无数个
有且只有1一个
无法确定
群具有的性质包括(ABC)。
结合律
有逆元
有单位元
分配律
在Z12*所有元素的逆元都是它本身。(正确)
Z12*是保加法运算。(错误)
Z﹡m的结构(二)
Z12*的阶为(B)。
若a∈Z9*,且为交换群,那么a的(C)次方等于单位元。
Zm*的结构可以描述成(B)。
Z5关于剩余类的乘法构成一个群。(错误)
Zm*是一个交换群。(正确)
Z﹡m的结构(三)
Z9*中满足7n=e的最小正整数是(C)。
Z5*中2的阶是(B)。
Z5*中3的阶是(B)。
设G是n阶群,任意的a∈G,有a^n=e。(正确)
在整数加群Z中,每个元素都是无限阶。(错误)